Calculadora de probabilidad de dados

¿Qué es una calculadora de probabilidad de dados?

Una calculadora de probabilidad de dados determina la probabilidad de obtener un total concreto cuando se lanzan varios dados a la vez y se suman sus caras. Lanzar un solo dado es sencillo: todas las caras son igual de probables, así que un dado de seis caras muestra cualquier número una vez de cada seis. Sumar dados no lo es: los totales del centro del rango se pueden alcanzar de muchas formas distintas, mientras que los extremos solo de una. Por eso el 7 es el resultado más frecuente con dos dados de seis caras y el 2 el más raro.

La calculadora responde a preguntas como «¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de exactamente 7 con dos dados?» o «¿Cuál es la probabilidad de sacar 10 o más?» para dados de 4, 6, 8, 10, 12, 20 o 100 caras, y para entre uno y doce dados a la vez.

Por qué la suma de dados no es un problema de lanzamiento de moneda

Contar caras en una serie de lanzamientos de moneda es un problema binomial: cada lanzamiento tiene dos resultados y cada cara suma exactamente uno al recuento. Las sumas de dados son distintas. Cada dado aporta cualquier valor entre 1 y $s$, de modo que la distribución del total se construye por convolución: se combina repetidamente la distribución que ya se tiene con la distribución uniforme de 1 a $s$ de un dado más.

El resultado es una distribución en forma de joroba que se vuelve más suave y más estrecha (en relación con su rango) a medida que se añaden dados, pero no es binomial y ningún coeficiente binomial la describe por sí solo. Por eso una fórmula de lanzamiento de moneda da la respuesta equivocada para los totales de dados, y por eso la calculadora construye toda la distribución.

¿Cómo funciona la calculadora?

Debes indicar cuatro datos:

• Número de dados ($n$): cuántos dados se lanzan y se suman, de 1 a 12.
• Caras por dado ($s$): el número de caras de cada dado: 4, 6, 8, 10, 12, 20 o 100. Se supone que todos los dados son idénticos y equilibrados.
• Condición sobre la suma: si quieres que el total sea exactamente, al menos, como máximo, mayor o menor que tu objetivo.
• Suma objetivo ($t$): el total que te interesa.

La calculadora construye entonces la distribución completa de los totales posibles, cuenta los resultados que cumplen tu condición e informa de:

• la probabilidad en porcentaje,
• la probabilidad como decimal entre 0 y 1,
• la probabilidad expresada como «uno entre …»,
• el número de resultados favorables (las formas de cumplir la condición),
• el número de resultados totales ($s^{n}$).

Un objetivo fuera del rango posible no es un error: sencillamente tiene probabilidad 0. El total más pequeño que puedes obtener es $n$ (todos los dados muestran 1) y el mayor es $n \times s$ (todos muestran su cara más alta), así que pedir 13 con dos dados de seis caras devuelve correctamente 0.

Fórmulas

Sea $N(n, s, t)$ el número de formas de obtener un total de $t$ con $n$ dados de $s$ caras. Como cada uno de los $s^{n}$ resultados ordenados es igual de probable, la probabilidad de un total exacto es

Los propios recuentos proceden de una convolución. Partiendo de $N(0, s, 0) = 1$, añadir un dado más reparte cada recuento existente entre las $s$ caras:

Los casos acumulados suman los recuentos individuales:

Las comparaciones estrictas son las mismas sumas desplazadas en una unidad, porque un total siempre es un número entero:

También existe una forma cerrada para el recuento, obtenida por inclusión-exclusión sobre los dados que se «desbordan» por encima de $s$:

Por último, la razón de probabilidad es el inverso de la probabilidad:

Ejemplos resueltos

1. Exactamente 7 con dos dados de seis caras. Con $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$, el total 7 se puede formar como 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1: 6 resultados favorables de $6^{2} = 36$. Así que $P = 6/36 \approx 0.166667$, alrededor del 16,6667 %, es decir, uno entre 6. Es el total más probable con dos dados.

2. Exactamente 2 con dos dados de seis caras. Solo sirve 1+1, así que hay 1 resultado favorable de 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, en torno al 2,7778 %, o uno entre 36.

3. Exactamente 10 con tres dados de seis caras. Con $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ hay 27 resultados favorables de $6^{3} = 216$, así que $P = 27/216 = 0.125$: exactamente el 12,5 %, o uno entre 8. Junto con el 11, es la cima de la distribución de tres dados.

4. Al menos 10 con dos dados de seis caras. Los totales válidos son 10, 11 y 12, alcanzables de 3, 2 y 1 formas respectivamente: 6 resultados de 36, así que $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Más de 10 con dos dados de seis caras. «Más de» excluye el propio 10 y deja los totales 11 y 12: $2 + 1 = 3$ resultados de 36, así que $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. El caso simétrico, «menos de 4», deja los totales 2 y 3 y da los mismos $3/36$.

6. Exactamente 13 con dos dados de seis caras. El total máximo posible es $2 \times 6 = 12$, así que hay 0 resultados favorables y $P = 0$.

7. Exactamente 10 con cuatro dados de cuatro caras. Con $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ hay 44 resultados favorables de $4^{4} = 256$, así que $P = 44/256 \approx 0.171875$, alrededor del 17,1875 %.

Notas prácticas

• La distribución de un total de dados siempre es simétrica alrededor de $n(s+1)/2$. Con dos dados de seis caras ese centro es 7; con tres es 10,5, y por eso el 10 y el 11 empatan como total más probable.
• Pedir «al menos» el total mínimo $n$, o «como máximo» el total máximo $n \times s$, siempre devuelve una probabilidad de 1, porque cualquier tirada cumple la condición.
• La razón «uno entre» solo se muestra cuando la probabilidad es mayor que cero: un total imposible no tiene una cifra significativa.
• Los recuentos de resultados favorables y totales solo se muestran mientras $s^{n}$ sea lo bastante pequeño como para ser un número entero exacto. Con doce dados de cien caras, los $100^{12} = 10^{24}$ resultados superan ese límite, así que los recuentos se ocultan mientras las probabilidades, que son razones, siguen siendo exactas.
• Todos los cálculos suponen dados equilibrados e independientes. Los dados cargados, las repeticiones de tirada, las reglas de «descartar el más bajo» y los dados explosivos cambian la distribución y no se contemplan aquí.
• Para un experimento de dos resultados repetido muchas veces, la calculadora de probabilidad de lanzamiento de moneda usa el modelo binomial. Para combinar las probabilidades de sucesos independientes, consulta la calculadora de probabilidad, y para contar selecciones en lugar de sumas, la calculadora de combinaciones.