Calculateur de probabilité aux dés

Qu’est-ce qu’un calculateur de probabilité aux dés ?

Un calculateur de probabilité aux dés détermine la probabilité d’obtenir un total donné lorsque l’on lance plusieurs dés à la fois et que l’on additionne les faces. Lancer un seul dé est simple : chaque face est équiprobable, donc un dé à six faces affiche un nombre donné une fois sur six. Additionner des dés ne l’est pas : les totaux au centre de la plage peuvent être atteints de nombreuses façons, tandis que les extrêmes ne le sont que d’une seule. C’est pourquoi 7 est le résultat le plus fréquent avec deux dés à six faces et 2 le plus rare.

Le calculateur répond à des questions telles que « Quelle est la probabilité d’obtenir un total d’exactement 7 avec deux dés ? » ou « Quelle est la probabilité d’obtenir 10 ou plus ? » pour des dés à 4, 6, 8, 10, 12, 20 ou 100 faces, et pour un à douze dés à la fois.

Pourquoi la somme des dés n’est pas un problème de pile ou face

Compter les faces dans une série de lancers de pièce est un problème binomial : chaque lancer a deux issues et chaque succès ajoute exactement un au compte. Les sommes de dés sont différentes. Chaque dé apporte une valeur comprise entre 1 et $s$, si bien que la distribution du total se construit par convolution : on combine à plusieurs reprises la distribution déjà obtenue avec la distribution uniforme de 1 à $s$ d’un dé supplémentaire.

Le résultat est une distribution en forme de bosse qui devient plus lisse et plus étroite (par rapport à son étendue) à mesure que l’on ajoute des dés, mais elle n’est pas binomiale et aucun coefficient binomial ne la décrit à lui seul. C’est pourquoi une formule de pile ou face donne une réponse fausse pour les totaux aux dés, et pourquoi le calculateur construit la distribution complète.

Comment fonctionne le calculateur ?

Vous fournissez quatre valeurs :

• Nombre de dés ($n$) — combien de dés sont lancés et additionnés, de 1 à 12.
• Faces par dé ($s$) — le nombre de faces de chaque dé : 4, 6, 8, 10, 12, 20 ou 100. Tous les dés sont supposés identiques et équilibrés.
• Condition sur la somme — si vous voulez que le total soit exactement, au moins, au plus, supérieur ou inférieur à votre cible.
• Somme cible ($t$) — le total qui vous intéresse.

Le calculateur construit ensuite la distribution complète des totaux possibles, compte les résultats qui satisfont votre condition et affiche :

• la probabilité en pourcentage,
• la probabilité en décimal entre 0 et 1,
• les chances exprimées sous la forme « une sur … »,
• le nombre de résultats favorables (les façons de satisfaire la condition),
• le nombre de résultats possibles ($s^{n}$).

Une cible hors de la plage possible n’est pas une erreur : elle a simplement une probabilité de 0. Le plus petit total atteignable est $n$ (tous les dés affichent 1) et le plus grand est $n \times s$ (tous affichent leur face maximale) ; demander 13 avec deux dés à six faces renvoie donc correctement 0.

Formules

Soit $N(n, s, t)$ le nombre de façons d’obtenir un total de $t$ avec $n$ dés à $s$ faces. Comme chacun des $s^{n}$ résultats ordonnés est équiprobable, la probabilité d’un total exact vaut

Les décomptes eux-mêmes proviennent d’une convolution. En partant de $N(0, s, 0) = 1$, l’ajout d’un dé répartit chaque décompte existant sur les $s$ faces :

Les cas cumulés additionnent les décomptes individuels :

Les comparaisons strictes sont les mêmes sommes décalées de un, car un total est toujours un nombre entier :

Il existe aussi une forme close du décompte, obtenue par inclusion-exclusion sur les dés qui « débordent » au-delà de $s$ :

Enfin, les chances sont l’inverse de la probabilité :

Exemples résolus

1. Exactement 7 avec deux dés à six faces. Avec $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$, le total 7 s’obtient par 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 et 6+1 — 6 résultats favorables sur $6^{2} = 36$. Donc $P = 6/36 \approx 0.166667$, soit environ 16,6667 %, c’est-à-dire une chance sur 6. C’est le total le plus probable avec deux dés.

2. Exactement 2 avec deux dés à six faces. Seul 1+1 convient, il y a donc 1 résultat favorable sur 36 : $P = 1/36 \approx 0.027778$, environ 2,7778 %, soit une sur 36.

3. Exactement 10 avec trois dés à six faces. Avec $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$, il y a 27 résultats favorables sur $6^{3} = 216$, donc $P = 27/216 = 0.125$ — exactement 12,5 %, soit une sur 8. Avec 11, c’est le sommet de la distribution à trois dés.

4. Au moins 10 avec deux dés à six faces. Les totaux qui conviennent sont 10, 11 et 12, atteignables respectivement de 3, 2 et 1 façons — 6 résultats sur 36, donc $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Plus de 10 avec deux dés à six faces. « Plus de » exclut 10 lui-même, il reste les totaux 11 et 12 : $2 + 1 = 3$ résultats sur 36, donc $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Le cas symétrique, « moins de 4 », laisse les totaux 2 et 3 et donne les mêmes $3/36$.

6. Exactement 13 avec deux dés à six faces. Le plus grand total possible est $2 \times 6 = 12$, il y a donc 0 résultat favorable et $P = 0$.

7. Exactement 10 avec quatre dés à quatre faces. Avec $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$, il y a 44 résultats favorables sur $4^{4} = 256$, donc $P = 44/256 \approx 0.171875$, environ 17,1875 %.

Notes pratiques

• La distribution d’un total aux dés est toujours symétrique autour de $n(s+1)/2$. Avec deux dés à six faces, ce centre vaut 7 ; avec trois, il vaut 10,5, ce qui explique que 10 et 11 soient à égalité comme total le plus probable.
• Demander « au moins » le total minimal $n$, ou « au plus » le total maximal $n \times s$, renvoie toujours une probabilité de 1, car tout lancer satisfait la condition.
• Les chances ne sont affichées que lorsque la probabilité est strictement positive : un total impossible n’a pas de valeur « une sur » qui ait un sens.
• Les décomptes de résultats favorables et possibles ne sont affichés que tant que $s^{n}$ reste assez petit pour être un entier exact. Avec douze dés à cent faces, les $100^{12} = 10^{24}$ résultats dépassent cette limite : les décomptes sont donc masqués, tandis que les probabilités, qui sont des rapports, restent exactes.
• Tous les calculs supposent des dés équilibrés et indépendants. Les dés pipés, les relances, les règles « on retire le plus faible » et les dés explosifs modifient la distribution et ne sont pas couverts ici.
• Pour une expérience à deux issues répétée un grand nombre de fois, le calculateur de probabilité de pile ou face utilise plutôt le modèle binomial. Pour combiner les probabilités d’événements indépendants, voyez le calculateur de probabilité, et pour compter des sélections plutôt que des sommes, le calculateur de combinaisons.