Kalkulator Probabilitas Dadu

Apa itu kalkulator probabilitas dadu?

Kalkulator probabilitas dadu menghitung seberapa besar peluang munculnya jumlah tertentu ketika Anda melempar beberapa dadu sekaligus dan menjumlahkan mata dadunya. Melempar satu dadu itu mudah: setiap sisi sama kemungkinannya, sehingga dadu bersisi enam menampilkan angka tertentu satu kali dari enam. Menjumlahkan beberapa dadu tidak sesederhana itu: jumlah di tengah rentang dapat dicapai dengan banyak cara berbeda, sedangkan nilai ekstremnya hanya dengan satu cara. Itulah sebabnya 7 adalah hasil paling umum pada dua dadu bersisi enam dan 2 adalah yang paling langka.

Kalkulator ini menjawab pertanyaan seperti “Berapa peluang mendapatkan jumlah tepat 7 dengan dua dadu?” atau “Berapa peluang mendapatkan 10 atau lebih?” untuk dadu bersisi 4, 6, 8, 10, 12, 20, atau 100, dan untuk satu sampai dua belas dadu sekaligus.

Mengapa jumlah dadu bukan soal lemparan koin

Menghitung sisi kepala dalam serangkaian lemparan koin adalah persoalan binomial: setiap lemparan punya dua hasil, dan setiap kepala menyumbang tepat satu pada hitungan. Jumlah dadu berbeda. Setiap dadu menyumbang nilai antara 1 sampai $s$, sehingga distribusi jumlahnya dibangun melalui konvolusi — menggabungkan berulang kali distribusi yang sudah ada dengan distribusi seragam 1 sampai $s$ dari satu dadu tambahan.

Hasilnya adalah distribusi berbentuk punuk yang menjadi semakin halus dan semakin sempit (relatif terhadap rentangnya) seiring bertambahnya dadu, tetapi distribusi itu bukan binomial dan tidak ada satu koefisien binomial pun yang menggambarkannya. Karena itulah rumus lemparan koin memberi jawaban yang salah untuk jumlah dadu, dan karena itu pula kalkulator ini membangun seluruh distribusinya.

Bagaimana cara kerja kalkulator ini?

Anda memasukkan empat nilai:

• Jumlah dadu ($n$) — berapa banyak dadu yang dilempar dan dijumlahkan, dari 1 sampai 12.
• Sisi per dadu ($s$) — banyaknya sisi setiap dadu: 4, 6, 8, 10, 12, 20, atau 100. Semua dadu dianggap identik dan adil.
• Kondisi untuk jumlah — apakah Anda ingin jumlahnya tepat, minimal, maksimal, lebih besar, atau lebih kecil dari target Anda.
• Jumlah target ($t$) — jumlah yang Anda minati.

Kalkulator kemudian membangun distribusi lengkap dari semua jumlah yang mungkin, menghitung hasil yang memenuhi kondisi Anda, dan melaporkan:

• probabilitas dalam persen,
• probabilitas sebagai desimal antara 0 dan 1,
• peluang dalam bentuk “satu dari …”,
• banyaknya hasil yang menguntungkan (cara memenuhi kondisi tersebut),
• banyaknya total hasil ($s^{n}$).

Target di luar rentang yang mungkin bukanlah kesalahan — nilainya sekadar berprobabilitas 0. Jumlah terkecil yang dapat Anda peroleh adalah $n$ (semua dadu menunjukkan 1) dan yang terbesar adalah $n \times s$ (semua menunjukkan sisi tertingginya), sehingga meminta 13 pada dua dadu bersisi enam dengan tepat menghasilkan 0.

Rumus

Misalkan $N(n, s, t)$ adalah banyaknya cara memperoleh jumlah $t$ dengan $n$ dadu bersisi $s$. Karena setiap dari $s^{n}$ hasil terurut sama kemungkinannya, probabilitas jumlah yang tepat adalah

Hitungan itu sendiri berasal dari konvolusi. Berawal dari $N(0, s, 0) = 1$, penambahan satu dadu menyebarkan setiap hitungan yang ada ke $s$ sisi:

Kasus kumulatif menjumlahkan hitungan-hitungan individual:

Perbandingan tegas adalah jumlah yang sama tetapi digeser satu, karena jumlah mata dadu selalu bilangan bulat:

Ada pula bentuk tertutup untuk hitungannya, yang diperoleh dengan inklusi-eksklusi atas dadu yang “melimpah” melewati $s$:

Terakhir, peluang adalah kebalikan dari probabilitas:

Contoh perhitungan

1. Tepat 7 pada dua dadu bersisi enam. Dengan $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$, jumlah 7 dapat dibentuk sebagai 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, dan 6+1 — 6 hasil menguntungkan dari $6^{2} = 36$. Jadi $P = 6/36 \approx 0.166667$, sekitar 16,6667%, yaitu peluang satu dari 6. Ini adalah jumlah yang paling mungkin pada dua dadu.

2. Tepat 2 pada dua dadu bersisi enam. Hanya 1+1 yang berhasil, jadi ada 1 hasil menguntungkan dari 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, sekitar 2,7778%, atau satu dari 36.

3. Tepat 10 pada tiga dadu bersisi enam. Dengan $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ terdapat 27 hasil menguntungkan dari $6^{3} = 216$, jadi $P = 27/216 = 0.125$ — tepat 12,5%, atau satu dari 8. Bersama 11, inilah puncak distribusi tiga dadu.

4. Minimal 10 pada dua dadu bersisi enam. Jumlah yang memenuhi adalah 10, 11, dan 12, yang masing-masing dapat dicapai dengan 3, 2, dan 1 cara — 6 hasil dari 36, jadi $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Lebih dari 10 pada dua dadu bersisi enam. “Lebih dari” mengecualikan angka 10 itu sendiri, menyisakan jumlah 11 dan 12: $2 + 1 = 3$ hasil dari 36, jadi $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Kasus cerminnya, “kurang dari 4”, menyisakan jumlah 2 dan 3 dan memberi hasil yang sama, $3/36$.

6. Tepat 13 pada dua dadu bersisi enam. Jumlah terbesar yang mungkin adalah $2 \times 6 = 12$, jadi ada 0 hasil menguntungkan dan $P = 0$.

7. Tepat 10 pada empat dadu bersisi empat. Dengan $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ terdapat 44 hasil menguntungkan dari $4^{4} = 256$, jadi $P = 44/256 \approx 0.171875$, sekitar 17,1875%.

Catatan praktis

• Distribusi jumlah mata dadu selalu simetris di sekitar $n(s+1)/2$. Pada dua dadu bersisi enam pusatnya adalah 7; pada tiga dadu 10,5, itulah sebabnya 10 dan 11 sama-sama menjadi jumlah yang paling mungkin.
• Meminta “minimal” jumlah terkecil $n$, atau “maksimal” jumlah terbesar $n \times s$, selalu menghasilkan probabilitas 1, karena setiap lemparan memenuhi kondisi tersebut.
• Peluang hanya ditampilkan bila probabilitasnya lebih besar dari nol — jumlah yang mustahil tidak punya angka “satu dari” yang bermakna.
• Banyaknya hasil menguntungkan dan total hasil hanya ditampilkan selama $s^{n}$ masih cukup kecil untuk menjadi bilangan bulat yang eksak. Dengan dua belas dadu bersisi seratus, $100^{12} = 10^{24}$ hasil melampaui batas itu, sehingga hitungannya disembunyikan sementara probabilitasnya, yang berupa rasio, tetap akurat.
• Semua perhitungan mengasumsikan dadu yang adil dan saling bebas. Dadu yang dicurangi, lemparan ulang, aturan “buang yang terendah”, dan dadu meledak semuanya mengubah distribusi dan tidak dibahas di sini.
• Untuk percobaan dua hasil yang diulang berkali-kali, kalkulator probabilitas lemparan koin menggunakan model binomial. Untuk menggabungkan peluang kejadian yang saling bebas, lihat kalkulator probabilitas, dan untuk menghitung pemilihan alih-alih jumlah, lihat kalkulator kombinasi.