Calcolatore di probabilità con i dadi

Che cos’è un calcolatore di probabilità con i dadi?

Un calcolatore di probabilità con i dadi determina quanto è probabile un determinato totale quando si lanciano più dadi insieme e si sommano le facce. Lanciare un solo dado è semplice: ogni faccia è ugualmente probabile, quindi un dado a sei facce mostra un dato numero una volta su sei. Sommare più dadi non lo è: i totali al centro dell’intervallo si possono raggiungere in molti modi diversi, mentre gli estremi in un modo soltanto. Ecco perché 7 è il risultato più comune con due dadi a sei facce e 2 è il più raro.

Il calcolatore risponde a domande come «Qual è la probabilità di ottenere un totale di esattamente 7 con due dadi?» oppure «Qual è la probabilità di ottenere 10 o più?» per dadi con 4, 6, 8, 10, 12, 20 o 100 facce, e per un numero di dadi da uno a dodici alla volta.

Perché la somma dei dadi non è un problema di lancio della moneta

Contare le teste in una serie di lanci di moneta è un problema binomiale: ogni lancio ha due esiti e ogni testa contribuisce esattamente con uno al conteggio. Le somme dei dadi sono diverse. Ogni dado contribuisce con un valore da 1 a $s$, così la distribuzione del totale si costruisce per convoluzione: si combina ripetutamente la distribuzione già ottenuta con la distribuzione uniforme da 1 a $s$ di un dado in più.

Il risultato è una distribuzione a gobba che diventa più liscia e più stretta (rispetto alla sua ampiezza) man mano che si aggiungono dadi, ma non è binomiale e nessun singolo coefficiente binomiale la descrive. Per questo una formula da lancio di moneta dà la risposta sbagliata per i totali dei dadi, ed è per questo che il calcolatore costruisce l’intera distribuzione.

Come funziona il calcolatore?

Devi fornire quattro valori:

• Numero di dadi ($n$) — quanti dadi vengono lanciati e sommati, da 1 a 12.
• Facce per dado ($s$) — il numero di facce di ogni dado: 4, 6, 8, 10, 12, 20 o 100. Tutti i dadi si assumono identici ed equilibrati.
• Condizione sulla somma — se vuoi che il totale sia esattamente, almeno, al massimo, maggiore o minore del tuo obiettivo.
• Somma obiettivo ($t$) — il totale che ti interessa.

Il calcolatore costruisce quindi la distribuzione completa dei totali possibili, conta i casi che soddisfano la tua condizione e riporta:

• la probabilità in percentuale,
• la probabilità come decimale tra 0 e 1,
• la probabilità espressa come «uno su …»,
• il numero di casi favorevoli (i modi di soddisfare la condizione),
• il numero di casi possibili ($s^{n}$).

Un obiettivo fuori dall’intervallo possibile non è un errore: ha semplicemente probabilità 0. Il totale più piccolo ottenibile è $n$ (tutti i dadi mostrano 1) e il più grande è $n \times s$ (tutti mostrano la faccia più alta), quindi chiedere 13 con due dadi a sei facce restituisce correttamente 0.

Formule

Sia $N(n, s, t)$ il numero di modi di ottenere un totale di $t$ con $n$ dadi a $s$ facce. Poiché ciascuno degli $s^{n}$ esiti ordinati è ugualmente probabile, la probabilità di un totale esatto è

I conteggi stessi provengono da una convoluzione. Partendo da $N(0, s, 0) = 1$, l’aggiunta di un dado distribuisce ogni conteggio esistente sulle $s$ facce:

I casi cumulati sommano i singoli conteggi:

I confronti stretti sono le stesse somme traslate di uno, perché un totale è sempre un numero intero:

Esiste anche una forma chiusa per il conteggio, ottenuta per inclusione-esclusione sui dadi che «traboccano» oltre $s$:

Infine, la probabilità «uno su» è il reciproco della probabilità:

Esempi svolti

1. Esattamente 7 con due dadi a sei facce. Con $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$, il totale 7 si può formare come 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1 — 6 casi favorevoli su $6^{2} = 36$. Quindi $P = 6/36 \approx 0.166667$, circa il 16,6667%, cioè uno su 6. È il totale più probabile con due dadi.

2. Esattamente 2 con due dadi a sei facce. Funziona solo 1+1, quindi c’è 1 caso favorevole su 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, circa il 2,7778%, ovvero uno su 36.

3. Esattamente 10 con tre dadi a sei facce. Con $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ ci sono 27 casi favorevoli su $6^{3} = 216$, quindi $P = 27/216 = 0.125$ — esattamente il 12,5%, ovvero uno su 8. Insieme a 11, è il picco della distribuzione a tre dadi.

4. Almeno 10 con due dadi a sei facce. I totali validi sono 10, 11 e 12, raggiungibili rispettivamente in 3, 2 e 1 modi — 6 casi su 36, quindi $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Più di 10 con due dadi a sei facce. «Più di» esclude il 10 stesso, lasciando i totali 11 e 12: $2 + 1 = 3$ casi su 36, quindi $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Il caso speculare, «meno di 4», lascia i totali 2 e 3 e dà gli stessi $3/36$.

6. Esattamente 13 con due dadi a sei facce. Il totale massimo possibile è $2 \times 6 = 12$, quindi ci sono 0 casi favorevoli e $P = 0$.

7. Esattamente 10 con quattro dadi a quattro facce. Con $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ ci sono 44 casi favorevoli su $4^{4} = 256$, quindi $P = 44/256 \approx 0.171875$, circa il 17,1875%.

Note pratiche

• La distribuzione di un totale di dadi è sempre simmetrica attorno a $n(s+1)/2$. Con due dadi a sei facce quel centro è 7; con tre è 10,5, ed è per questo che 10 e 11 sono a pari merito come totale più probabile.
• Chiedere «almeno» il totale minimo $n$, o «al massimo» il totale massimo $n \times s$, restituisce sempre probabilità 1, perché ogni lancio soddisfa la condizione.
• Il valore «uno su» viene mostrato solo quando la probabilità è maggiore di zero: un totale impossibile non ha una cifra sensata.
• I conteggi dei casi favorevoli e possibili vengono mostrati solo finché $s^{n}$ è abbastanza piccolo da essere un numero intero esatto. Con dodici dadi a cento facce, i $100^{12} = 10^{24}$ esiti superano quel limite, quindi i conteggi restano nascosti mentre le probabilità, che sono rapporti, rimangono accurate.
• Ogni calcolo presuppone dadi equilibrati e indipendenti. Dadi truccati, rilanci, regole «scarta il più basso» e dadi esplosivi cambiano tutti la distribuzione e non sono trattati qui.
• Per un esperimento a due esiti ripetuto molte volte, il calcolatore di probabilità del lancio della moneta usa invece il modello binomiale. Per combinare le probabilità di eventi indipendenti, vedi il calcolatore di probabilità, e per contare selezioni anziché somme, il calcolatore di combinazioni.