주사위 확률 계산기

주사위 확률 계산기란?

주사위 확률 계산기는 여러 개의 주사위를 한꺼번에 굴려 눈을 더했을 때 특정 합이 나올 가능성을 계산합니다. 주사위 한 개를 굴리는 것은 간단합니다. 모든 면이 똑같이 나올 수 있으므로 6면 주사위는 어떤 숫자든 여섯 번에 한 번 나옵니다. 그러나 여러 주사위를 더하면 이야기가 달라집니다. 범위 가운데에 있는 합은 여러 가지 방법으로 만들 수 있지만, 양 끝의 합은 단 한 가지 방법으로만 만들 수 있습니다. 6면 주사위 두 개에서 7이 가장 흔하고 2가 가장 드문 이유가 바로 이것입니다.

이 계산기는 “주사위 두 개로 합이 정확히 7이 될 확률은?” 또는 “10 이상이 나올 확률은?”과 같은 질문에 답합니다. 면의 수는 4, 6, 8, 10, 12, 20, 100 중에서 고를 수 있고, 주사위는 한 개부터 열두 개까지 한 번에 다룰 수 있습니다.

주사위 합이 동전 던지기 문제가 아닌 이유

동전 던지기에서 앞면의 횟수를 세는 것은 이항 문제입니다. 각 던지기에는 두 가지 결과만 있고, 앞면이 나올 때마다 횟수가 정확히 1씩 늘어납니다. 주사위 합은 다릅니다. 각 주사위는 1부터 $s$ 까지의 값을 더하므로, 합의 분포는 합성곱으로 만들어집니다. 즉 이미 얻은 분포에 주사위 하나의 1부터 $s$ 까지 균등한 분포를 반복해서 결합하는 것입니다.

그 결과는 봉우리 모양의 분포이며, 주사위를 더할수록 (전체 범위에 비해) 더 매끄럽고 좁아집니다. 하지만 이 분포는 이항분포가 아니고 하나의 이항계수로 설명되지도 않습니다. 동전 던지기 공식이 주사위 합에 대해 틀린 답을 주는 이유이자, 이 계산기가 분포 전체를 직접 구성하는 이유입니다.

계산기는 어떻게 작동하나요?

네 가지 값을 입력합니다.

• 주사위 개수 ($n$) — 굴려서 더할 주사위의 수로, 1부터 12까지입니다.
• 주사위 면 수 ($s$) — 각 주사위의 면 수로 4, 6, 8, 10, 12, 20, 100 중 하나입니다. 모든 주사위는 동일하고 공정하다고 가정합니다.
• 합에 대한 조건 — 합이 목표값과 정확히 같아야 하는지, 아니면 목표값 이상·이하·초과·미만이어야 하는지 선택합니다.
• 목표 합 ($t$) — 관심 있는 합계입니다.

계산기는 가능한 모든 합의 분포를 만든 뒤 조건을 만족하는 경우를 세어 다음을 보여 줍니다.

• 백분율로 나타낸 확률,
• 0과 1 사이의 소수로 나타낸 확률,
• “몇 분의 1” 형태의 확률,
• 유리한 경우의 수 (조건을 만족하는 방법의 수),
• 전체 경우의 수 ($s^{n}$).

가능한 범위를 벗어난 목표값은 오류가 아니라 단순히 확률이 0입니다. 나올 수 있는 가장 작은 합은 $n$ (모든 주사위가 1)이고 가장 큰 합은 $n \times s$ (모두 최대 면)이므로, 6면 주사위 두 개로 13을 물으면 정확히 0이 나옵니다.

공식

$N(n, s, t)$ 를 $s$ 면 주사위 $n$ 개로 합 $t$ 를 만드는 경우의 수라고 합시다. $s^{n}$ 가지 순서 있는 결과가 모두 똑같이 나올 수 있으므로, 합이 정확히 그 값일 확률은 다음과 같습니다.

$$P(S = t) = \frac{N(n, s, t)}{s^{n}}$$

경우의 수 자체는 합성곱에서 나옵니다. $N(0, s, 0) = 1$ 에서 시작해, 주사위를 하나 더할 때마다 기존의 경우의 수를 $s$ 개의 면에 나누어 퍼뜨립니다.

$$N(n, s, t) = \sum_{f=1}^{s} N(n-1, s, t-f)$$

누적 확률은 개별 경우의 수를 더합니다.

$$P(S \ge t) = \frac{1}{s^{n}} \sum_{j = t}^{n s} N(n, s, j)$$ $$P(S \le t) = \frac{1}{s^{n}} \sum_{j = n}^{t} N(n, s, j)$$

합은 항상 정수이므로, 엄격한 부등호는 같은 합을 1만큼 옮긴 것입니다.

$$P(S > t) = P(S \ge t + 1) \qquad P(S < t) = P(S \le t - 1)$$

$s$ 를 “넘치는” 주사위에 포함배제 원리를 적용하면 경우의 수에 대한 닫힌 식도 얻을 수 있습니다.

$$N(n, s, t) = \sum_{k=0}^{\lfloor (t-n)/s \rfloor} (-1)^{k} \binom{n}{k} \binom{t - s k - 1}{n - 1}$$

마지막으로, “몇 분의 1” 값은 확률의 역수입니다.

$$\text{odds} = \frac{1}{P}$$

계산 예시

1. 6면 주사위 두 개로 합이 정확히 7. $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$ 일 때 합 7은 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1로 만들 수 있으므로 $6^{2} = 36$ 가지 중 6가지가 유리한 경우입니다. 따라서 $P = 6/36 \approx 0.166667$, 약 16.6667%, 즉 6분의 1입니다. 주사위 두 개에서 가장 흔한 합입니다.

2. 6면 주사위 두 개로 합이 정확히 2. 1+1뿐이므로 36가지 중 1가지입니다. $P = 1/36 \approx 0.027778$, 약 2.7778%, 즉 36분의 1입니다.

3. 6면 주사위 세 개로 합이 정확히 10. $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ 에서는 $6^{3} = 216$ 가지 중 27가지가 유리하므로 $P = 27/216 = 0.125$, 정확히 12.5%, 즉 8분의 1입니다. 11과 함께 주사위 세 개 분포의 정점입니다.

4. 6면 주사위 두 개로 합이 10 이상. 조건을 만족하는 합은 10, 11, 12이고 각각 3가지, 2가지, 1가지 방법이 있습니다. 36가지 중 6가지이므로 $P = 6/36 \approx 16.6667\%$ 입니다.

5. 6면 주사위 두 개로 합이 10 초과. “초과”는 10 자체를 제외하므로 합 11과 12만 남습니다. 36가지 중 $2 + 1 = 3$ 가지이므로 $P = 3/36 \approx 8.3333\%$ 입니다. 대칭인 “4 미만”의 경우 합 2와 3이 남아 똑같이 $3/36$ 이 됩니다.

6. 6면 주사위 두 개로 합이 정확히 13. 가능한 최대 합은 $2 \times 6 = 12$ 이므로 유리한 경우가 0가지이고 $P = 0$ 입니다.

7. 4면 주사위 네 개로 합이 정확히 10. $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ 에서는 $4^{4} = 256$ 가지 중 44가지가 유리하므로 $P = 44/256 \approx 0.171875$, 약 17.1875%입니다.

실용적인 참고 사항

• 주사위 합의 분포는 항상 $n(s+1)/2$ 를 중심으로 대칭입니다. 6면 주사위 두 개면 그 중심이 7이고, 세 개면 10.5이므로 10과 11이 가장 흔한 합으로 동률이 됩니다.
• 최소 합 $n$ 에 대해 “이상”을, 최대 합 $n \times s$ 에 대해 “이하”를 지정하면 모든 결과가 조건을 만족하므로 확률은 항상 1이 됩니다.
• “몇 분의 1” 값은 확률이 0보다 클 때만 표시됩니다. 불가능한 합에는 의미 있는 값이 없기 때문입니다.
• 유리한 경우의 수와 전체 경우의 수는 $s^{n}$ 이 정확한 정수로 표현될 수 있을 때만 표시됩니다. 100면 주사위 열두 개에서는 $100^{12} = 10^{24}$ 가지로 이 한계를 넘기 때문에 경우의 수는 숨겨지지만, 비율인 확률은 그대로 정확합니다.
• 모든 계산은 공정하고 서로 독립인 주사위를 전제로 합니다. 조작된 주사위, 다시 굴리기, “가장 낮은 값 버리기” 규칙, 폭발 주사위는 모두 분포를 바꾸므로 여기서는 다루지 않습니다.
• 결과가 두 가지뿐인 실험을 여러 번 반복하는 경우에는 동전 던지기 확률 계산기가 이항 모형을 사용합니다. 독립 사건의 확률을 결합하려면 확률 계산기를, 합이 아니라 선택의 수를 세려면 조합 계산기를 참고하세요.