Calculadora de probabilidade de dados

O que é uma calculadora de probabilidade de dados?

Uma calculadora de probabilidade de dados determina qual é a chance de um total específico quando você lança vários dados de uma vez e soma as faces. Lançar um único dado é simples: todas as faces são igualmente prováveis, então um dado de seis faces mostra qualquer número uma vez em seis. Somar dados não é: os totais no meio do intervalo podem ser alcançados de muitas maneiras diferentes, enquanto os extremos só de uma. É por isso que 7 é o resultado mais comum com dois dados de seis faces e 2 é o mais raro.

A calculadora responde a perguntas como “Qual é a chance de tirar um total de exatamente 7 com dois dados?” ou “Qual é a chance de tirar 10 ou mais?” para dados de 4, 6, 8, 10, 12, 20 ou 100 faces, e para um a doze dados de cada vez.

Por que a soma dos dados não é um problema de cara ou coroa

Contar caras em uma série de lançamentos de moeda é um problema binomial: cada lançamento tem dois resultados e cada cara acrescenta exatamente um à contagem. As somas de dados são diferentes. Cada dado contribui com um valor de 1 a $s$, de modo que a distribuição do total é construída por convolução — combinando repetidamente a distribuição já obtida com a distribuição uniforme de 1 a $s$ de mais um dado.

O resultado é uma distribuição em forma de corcova que fica mais suave e mais estreita (em relação à sua amplitude) à medida que se acrescentam dados, mas ela não é binomial e nenhum coeficiente binomial isolado a descreve. É por isso que uma fórmula de cara ou coroa dá a resposta errada para totais de dados, e por isso a calculadora constrói a distribuição inteira.

Como funciona a calculadora?

Você fornece quatro valores:

• Número de dados ($n$) — quantos dados são lançados e somados, de 1 a 12.
• Faces por dado ($s$) — o número de faces de cada dado: 4, 6, 8, 10, 12, 20 ou 100. Todos os dados são considerados idênticos e honestos.
• Condição sobre a soma — se você quer que o total seja exatamente, pelo menos, no máximo, maior ou menor que o seu alvo.
• Soma alvo ($t$) — o total que lhe interessa.

A calculadora então constrói a distribuição completa dos totais possíveis, conta os resultados que satisfazem a sua condição e informa:

• a probabilidade em porcentagem,
• a probabilidade como decimal entre 0 e 1,
• as chances expressas como “uma em …”,
• o número de resultados favoráveis (as maneiras de satisfazer a condição),
• o número de resultados possíveis ($s^{n}$).

Um alvo fora do intervalo possível não é um erro — ele simplesmente tem probabilidade 0. O menor total que você pode obter é $n$ (todos os dados mostram 1) e o maior é $n \times s$ (todos mostram a face mais alta), então pedir 13 com dois dados de seis faces retorna corretamente 0.

Fórmulas

Seja $N(n, s, t)$ o número de maneiras de obter um total de $t$ com $n$ dados de $s$ faces. Como cada um dos $s^{n}$ resultados ordenados é igualmente provável, a probabilidade de um total exato é

As próprias contagens vêm de uma convolução. Partindo de $N(0, s, 0) = 1$, acrescentar mais um dado espalha cada contagem existente pelas $s$ faces:

Os casos acumulados somam as contagens individuais:

As comparações estritas são as mesmas somas deslocadas de um, porque um total é sempre um número inteiro:

Há também uma forma fechada para a contagem, obtida por inclusão-exclusão sobre os dados que “transbordam” além de $s$:

Por fim, as chances são o inverso da probabilidade:

Exemplos resolvidos

1. Exatamente 7 com dois dados de seis faces. Com $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$, o total 7 pode ser formado como 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 e 6+1 — 6 resultados favoráveis em $6^{2} = 36$. Portanto $P = 6/36 \approx 0.166667$, cerca de 16,6667%, ou seja, uma chance em 6. É o total mais provável com dois dados.

2. Exatamente 2 com dois dados de seis faces. Só 1+1 funciona, então há 1 resultado favorável em 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, cerca de 2,7778%, ou uma em 36.

3. Exatamente 10 com três dados de seis faces. Com $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ há 27 resultados favoráveis em $6^{3} = 216$, então $P = 27/216 = 0.125$ — exatamente 12,5%, ou uma em 8. Junto com 11, é o pico da distribuição de três dados.

4. Pelo menos 10 com dois dados de seis faces. Os totais que servem são 10, 11 e 12, alcançáveis de 3, 2 e 1 maneiras respectivamente — 6 resultados em 36, então $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Mais que 10 com dois dados de seis faces. “Mais que” exclui o próprio 10, deixando os totais 11 e 12: $2 + 1 = 3$ resultados em 36, então $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. O caso espelhado, “menos que 4”, deixa os totais 2 e 3 e dá os mesmos $3/36$.

6. Exatamente 13 com dois dados de seis faces. O maior total possível é $2 \times 6 = 12$, então há 0 resultados favoráveis e $P = 0$.

7. Exatamente 10 com quatro dados de quatro faces. Com $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ há 44 resultados favoráveis em $4^{4} = 256$, então $P = 44/256 \approx 0.171875$, cerca de 17,1875%.

Notas práticas

• A distribuição de um total de dados é sempre simétrica em torno de $n(s+1)/2$. Com dois dados de seis faces esse centro é 7; com três é 10,5, e é por isso que 10 e 11 empatam como total mais provável.
• Pedir “pelo menos” o total mínimo $n$, ou “no máximo” o total máximo $n \times s$, sempre devolve probabilidade 1, porque qualquer lançamento satisfaz a condição.
• As chances só aparecem quando a probabilidade é maior que zero — um total impossível não tem um valor “uma em” que faça sentido.
• As contagens de resultados favoráveis e possíveis só são exibidas enquanto $s^{n}$ for pequeno o bastante para ser um número inteiro exato. Com doze dados de cem faces, os $100^{12} = 10^{24}$ resultados ultrapassam esse limite, então as contagens ficam ocultas enquanto as probabilidades, que são razões, continuam exatas.
• Todos os cálculos pressupõem dados honestos e independentes. Dados viciados, relançamentos, regras de “descartar o menor” e dados explosivos alteram a distribuição e não são tratados aqui.
• Para um experimento de dois resultados repetido muitas vezes, a calculadora de probabilidade de cara ou coroa usa o modelo binomial. Para combinar as chances de eventos independentes, veja a calculadora de probabilidade, e para contar seleções em vez de somas, a calculadora de combinações.