Калькулятор вероятности бросков кубиков

Что такое калькулятор вероятности бросков кубиков?

Калькулятор вероятности бросков кубиков определяет, насколько вероятна та или иная сумма очков, когда вы бросаете сразу несколько кубиков и складываете выпавшие грани. С одним кубиком всё просто: любая грань равновероятна, поэтому шестигранный кубик показывает конкретное число один раз из шести. С суммой нескольких кубиков всё иначе: суммы из середины диапазона можно получить многими разными способами, а крайние — только одним. Именно поэтому на двух шестигранных кубиках 7 выпадает чаще всего, а 2 — реже всего.

Калькулятор отвечает на вопросы вроде «Какова вероятность выбросить сумму ровно 7 двумя кубиками?» или «Какова вероятность выбросить 10 или больше?» для кубиков с 4, 6, 8, 10, 12, 20 или 100 гранями и для количества от одного до двенадцати кубиков одновременно.

Почему сумма очков — это не задача о подбрасывании монеты

Подсчёт орлов в серии подбрасываний монеты — это биномиальная задача: у каждого броска два исхода, и каждый орёл добавляет к счётчику ровно единицу. С суммой очков всё по-другому. Каждый кубик добавляет любое значение от 1 до $s$, поэтому распределение суммы строится свёрткой — уже имеющееся распределение снова и снова объединяется с равномерным распределением от 1 до $s$ ещё одного кубика.

В результате получается холмообразное распределение, которое с добавлением кубиков становится более гладким и более узким (относительно своего размаха), но оно не биномиальное, и никакой отдельный биномиальный коэффициент его не описывает. Поэтому формула для монеты даёт неверный ответ для сумм на кубиках — и поэтому калькулятор строит распределение целиком.

Как работает калькулятор?

Вы задаёте четыре значения:

• Количество кубиков ($n$) — сколько кубиков бросают и складывают, от 1 до 12.
• Граней на кубике ($s$) — число граней каждого кубика: 4, 6, 8, 10, 12, 20 или 100. Все кубики считаются одинаковыми и честными.
• Условие для суммы — должна ли сумма быть ровно, не менее, не более, больше или меньше вашей цели.
• Целевая сумма ($t$) — интересующая вас сумма.

Затем калькулятор строит полное распределение возможных сумм, подсчитывает исходы, удовлетворяющие условию, и выводит:

• вероятность в процентах,
• вероятность в виде десятичной дроби от 0 до 1,
• шансы в форме «один из …»,
• число благоприятных исходов (способов выполнить условие),
• общее число исходов ($s^{n}$).

Цель вне возможного диапазона — не ошибка: у неё просто вероятность 0. Наименьшая достижимая сумма равна $n$ (все кубики показывают 1), а наибольшая — $n \times s$ (все показывают старшую грань), поэтому запрос суммы 13 на двух шестигранных кубиках корректно даёт 0.

Формулы

Пусть $N(n, s, t)$ — число способов получить сумму $t$ на $n$ кубиках с $s$ гранями. Поскольку каждый из $s^{n}$ упорядоченных исходов равновероятен, вероятность точной суммы равна

Сами количества получаются свёрткой. Начиная с $N(0, s, 0) = 1$, каждый добавленный кубик распределяет имеющиеся количества по $s$ граням:

Накопленные случаи суммируют отдельные количества:

Строгие сравнения — это те же суммы, сдвинутые на единицу, потому что сумма очков всегда целая:

Существует и замкнутая формула для количества, получаемая по принципу включений-исключений по кубикам, которые «переполняются» сверх $s$:

Наконец, шансы — это величина, обратная вероятности:

Примеры расчётов

1. Ровно 7 на двух шестигранных кубиках. При $n = 2$, $s = 6$, $t = 7$ сумму 7 можно составить как 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 и 6+1 — 6 благоприятных исходов из $6^{2} = 36$. Поэтому $P = 6/36 \approx 0.166667$, около 16,6667%, то есть один шанс из 6. Это самая вероятная сумма на двух кубиках.

2. Ровно 2 на двух шестигранных кубиках. Подходит только 1+1, значит благоприятный исход 1 из 36: $P = 1/36 \approx 0.027778$, около 2,7778%, или один из 36.

3. Ровно 10 на трёх шестигранных кубиках. При $n = 3$, $s = 6$, $t = 10$ благоприятных исходов 27 из $6^{3} = 216$, поэтому $P = 27/216 = 0.125$ — ровно 12,5%, или один из 8. Вместе с 11 это вершина распределения для трёх кубиков.

4. Не менее 10 на двух шестигранных кубиках. Подходят суммы 10, 11 и 12, достижимые 3, 2 и 1 способами соответственно — 6 исходов из 36, поэтому $P = 6/36 \approx 16.6667\%$.

5. Больше 10 на двух шестигранных кубиках. Вариант «больше» исключает саму 10, остаются суммы 11 и 12: $2 + 1 = 3$ исхода из 36, поэтому $P = 3/36 \approx 8.3333\%$. Зеркальный случай «меньше 4» оставляет суммы 2 и 3 и даёт те же $3/36$.

6. Ровно 13 на двух шестигранных кубиках. Наибольшая возможная сумма равна $2 \times 6 = 12$, поэтому благоприятных исходов 0 и $P = 0$.

7. Ровно 10 на четырёх четырёхгранных кубиках. При $n = 4$, $s = 4$, $t = 10$ благоприятных исходов 44 из $4^{4} = 256$, поэтому $P = 44/256 \approx 0.171875$, около 17,1875%.

Практические замечания

• Распределение суммы очков всегда симметрично относительно $n(s+1)/2$. На двух шестигранных кубиках этот центр равен 7, на трёх — 10,5, поэтому 10 и 11 делят между собой звание самой вероятной суммы.
• Запрос «не менее» минимальной суммы $n$ или «не более» максимальной суммы $n \times s$ всегда даёт вероятность 1, потому что любой бросок удовлетворяет условию.
• Шансы показываются только при вероятности больше нуля — у невозможной суммы нет осмысленного значения «один из».
• Числа благоприятных и всех исходов выводятся, только пока $s^{n}$ достаточно мало, чтобы быть точным целым числом. При двенадцати стогранных кубиках $100^{12} = 10^{24}$ исходов превышают этот предел, поэтому количества скрываются, а вероятности, будучи отношениями, остаются точными.
• Все расчёты предполагают честные и независимые кубики. Утяжелённые кубики, переброс, правила «отбросить наименьший» и взрывные кубики меняют распределение и здесь не учитываются.
• Для эксперимента с двумя исходами, повторяемого много раз, калькулятор вероятности подбрасывания монеты использует биномиальную модель. Чтобы объединять вероятности независимых событий, см. калькулятор вероятности, а чтобы считать выборки, а не суммы, — калькулятор комбинаций.