骰子概率计算器

什么是骰子概率计算器？

骰子概率计算器用来求出同时掷出多个骰子并把点数相加时，出现某个特定点数和的可能性。只掷一个骰子很简单：每一面的可能性都相同，所以六面骰掷出任意一个数字的概率都是六分之一。但把多个骰子相加就不一样了：处于取值范围中间的和可以由许多种不同组合得到，而两端的和只有一种组合。这正是两个六面骰掷出 7 最常见、掷出 2 最罕见的原因。

这个计算器可以回答诸如「用两个骰子掷出点数和恰好为 7 的概率是多少？」或「掷出 10 或更大的概率是多少？」之类的问题，支持 4、6、8、10、12、20 或 100 面的骰子，一次可处理 1 到 12 个骰子。

为什么骰子点数和不是抛硬币问题

统计一连串抛硬币中正面的次数是二项问题：每次抛掷只有两种结果，每出现一次正面计数就恰好加一。骰子的点数和则不同。每个骰子贡献的值可以是 1 到 $s$ 之间的任意数，因此点数和的分布是通过卷积构建的——把已有的分布与再多一个骰子的 1 到 $s$ 均匀分布反复合成。

得到的是一个驼峰形分布，骰子越多它就越平滑、（相对于其取值范围）越窄，但它并不是二项分布，也无法用单个二项式系数来描述。这就是抛硬币公式对骰子点数和给出错误答案的原因，也是本计算器改为构建完整分布的原因。

计算器如何工作？

你需要提供四个输入：

• 骰子数量（$n$）——投掷并相加的骰子个数，范围为 1 到 12。
• 每个骰子的面数（$s$）——每个骰子的面数：4、6、8、10、12、20 或 100。假定所有骰子完全相同且均匀。
• 点数和的条件——你希望点数和恰好等于、不小于、不大于、大于还是小于目标值。
• 目标点数和（$t$）——你关心的点数和。

计算器随后会构建所有可能点数和的完整分布，统计满足条件的结果数，并给出：

• 以百分比表示的概率，
• 介于 0 与 1 之间的小数概率，
• 以「几分之一」形式表示的机会，
• 有利结果数（满足条件的组合数），
• 总结果数（$s^{n}$）。

超出可能范围的目标值不是错误，它的概率就是 0。能掷出的最小点数和是 $n$（所有骰子都是 1），最大是 $n \times s$（所有骰子都是最大面），所以用两个六面骰询问 13 会正确地返回 0。

公式

设 $N(n, s, t)$ 为用 $n$ 个 $s$ 面骰掷出点数和 $t$ 的方法数。由于 $s^{n}$ 种有序结果出现的可能性相同，恰好为某个点数和的概率是

$$P(S = t) = \frac{N(n, s, t)}{s^{n}}$$

这些计数本身来自卷积。从 $N(0, s, 0) = 1$ 开始，每增加一个骰子，就把已有的每个计数分摊到 $s$ 个面上：

$$N(n, s, t) = \sum_{f=1}^{s} N(n-1, s, t-f)$$

累积情形则把各个计数相加：

$$P(S \ge t) = \frac{1}{s^{n}} \sum_{j = t}^{n s} N(n, s, j)$$ $$P(S \le t) = \frac{1}{s^{n}} \sum_{j = n}^{t} N(n, s, j)$$

由于点数和总是整数，严格不等式就是同样的求和平移一位：

$$P(S > t) = P(S \ge t + 1) \qquad P(S < t) = P(S \le t - 1)$$

对超过 $s$ 而「溢出」的骰子使用容斥原理，还可以得到计数的闭式：

$$N(n, s, t) = \sum_{k=0}^{\lfloor (t-n)/s \rfloor} (-1)^{k} \binom{n}{k} \binom{t - s k - 1}{n - 1}$$

最后，机会是概率的倒数：

$$\text{odds} = \frac{1}{P}$$

计算示例

1. 两个六面骰点数和恰好为 7。 当 $n = 2$、$s = 6$、$t = 7$ 时，7 可以由 1+6、2+5、3+4、4+3、5+2 和 6+1 组成——$6^{2} = 36$ 种结果中有 6 种有利。因此 $P = 6/36 \approx 0.166667$，约为 16.6667%，即六分之一。这是两个骰子最可能出现的点数和。

2. 两个六面骰点数和恰好为 2。 只有 1+1 可行，所以 36 种结果中只有 1 种有利：$P = 1/36 \approx 0.027778$，约为 2.7778%，即三十六分之一。

3. 三个六面骰点数和恰好为 10。 当 $n = 3$、$s = 6$、$t = 10$ 时，$6^{3} = 216$ 种结果中有 27 种有利，因此 $P = 27/216 = 0.125$——恰好 12.5%，即八分之一。它与 11 同为三骰分布的峰值。

4. 两个六面骰点数和不小于 10。 符合条件的点数和是 10、11 和 12，分别有 3、2、1 种组合——36 种结果中有 6 种，因此 $P = 6/36 \approx 16.6667\%$。

5. 两个六面骰点数和大于 10。「大于」不含 10 本身，只剩下 11 和 12：36 种结果中有 $2 + 1 = 3$ 种，因此 $P = 3/36 \approx 8.3333\%$。对称的「小于 4」剩下 2 和 3，结果同样是 $3/36$。

6. 两个六面骰点数和恰好为 13。 可能的最大点数和是 $2 \times 6 = 12$，所以有利结果为 0 种，$P = 0$。

7. 四个四面骰点数和恰好为 10。 当 $n = 4$、$s = 4$、$t = 10$ 时，$4^{4} = 256$ 种结果中有 44 种有利，因此 $P = 44/256 \approx 0.171875$，约为 17.1875%。

实用说明

• 骰子点数和的分布总是关于 $n(s+1)/2$ 对称。两个六面骰的中心是 7；三个骰子是 10.5，这正是 10 与 11 并列为最可能点数和的原因。
• 对最小点数和 $n$ 使用「不小于」，或对最大点数和 $n \times s$ 使用「不大于」，概率总是 1，因为任何一次投掷都满足条件。
• 只有概率大于零时才会显示机会——不可能出现的点数和没有有意义的「几分之一」数值。
• 有利结果数与总结果数只在 $s^{n}$ 小到可以精确表示为整数时才会显示。使用十二个一百面骰时，$100^{12} = 10^{24}$ 种结果超出了这个上限，因此计数会被隐藏，而作为比值的概率仍然准确。
• 所有计算都假定骰子均匀且相互独立。灌铅骰、重掷、「去掉最低值」规则以及爆炸骰都会改变分布，本页不予涵盖。
• 对于重复多次的两结果试验，抛硬币概率计算器使用的是二项模型。若要组合独立事件的概率，请参阅概率计算器；若要计算选取方式而非点数和，请参阅组合计算器。